Οι Μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι δεν υπάρχει μόνο ένα άπειρο!

Όλοι μας έχουμε διαισθητικά μια περισσότερο ή λιγότερο ακριβή ιδέα για το τι είναι το άπειρο, αλλά μια μάλλον οικεία και συνολικά αποδεκτή προσέγγιση είναι η εξής:

Το άπειρο είναι μια ιδέα που περιγράφει κάτι που δεν έχει τέλος ή όριο. Είναι σαν να φανταζόμαστε κάτι που συνεχίζεται και συνεχίζεται για πάντα, χωρίς ποτέ να σταματάει. Αν και δεν μπορούμε να δούμε το άπειρο, το χρησιμοποιούμε για να σκεφτούμε πράγματα που είναι πολύ μεγάλα ή ατελείωτα.

Αν μείνουμε στα Μαθηματικά μπορούμε πάντα να προσθέσουμε έναν ακόμη αριθμό, οπότε δεν θα φτάσουμε ποτέ σε μια μέγιστη τιμή πάνω από την οποία δεν υπάρχει άλλος αριθμός. Πάντα θα έχουμε έναν υψηλότερο αριθμό αν συνεχίσουμε να προσθέτουμε έναν. Ωστόσο, και εδώ έρχεται μια αναπάντεχη τροπή, οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν πριν από περισσότερο από έναν αιώνα ότι υπάρχουν περισσότερα από ένα είδη απείρου.

Στα τέλη του 19ου αιώνα, το 1878, ο Γερμανός μαθηματικός Georg Cantor απέδειξε για πρώτη φορά ότι το άπειρο σύνολο που περιλαμβάνει τους πραγματικούς αριθμούς, και το οποίο, επομένως, περιλαμβάνει τους αρνητικούς και τους δεκαδικούς αριθμούς, είναι μεγαλύτερο από το άπειρο σύνολο των φυσικών ή ακέραιων αριθμών. Η ιδέα αυτή είναι αρκετά διαισθητική, αλλά, ωστόσο, καθώς δεν είναι δυνατόν να τους μετρήσουμε όλους, ο Cantor έπρεπε να κάνει μια πολύ σχολαστική σύγκριση των δύο συνόλων.

Αν παρατηρήσουμε για λίγο την ιδέα αυτή, θα καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν περισσότερα από ένα άπειρα. Όπως μόλις είδαμε, το άπειρο που συνδέεται με τους πραγματικούς αριθμούς είναι μεγαλύτερο από το άπειρο που συνδέεται με τους φυσικούς αριθμούς. Αυτή η διαπίστωση επέτρεψε στους μαθηματικούς να συνειδητοποιήσουν ότι μπορούσαν να κατασκευάσουν μεγαλύτερα σύνολα απείρων, δημιουργώντας έτσι μια ιεραρχική κλίμακα άπειρων συνόλων.

Για τους μαθηματικούς, η έννοια του απείρου είναι πολύ ενδιαφέρουσα, γεγονός που ώθησε ορισμένους από αυτούς να συνεχίσουν την έρευνα για να γνωρίσουν τις ιδιότητές του ολοένα και καλύτερα. Μάλιστα, μια ομάδα ερευνητών από το Πανεπιστήμιο της Βιέννης προτείνει δύο νέα άπειρα μεγέθη, τα οποία ονόμασαν ακριβή και υπερ-ακριβή cardinals. Το πιο εκπληκτικό είναι ότι αυτά τα «νέα» άπειρα δεν υπακούουν στους κανόνες που περιγράφουν τα άπειρα που ήταν γνωστά μέχρι τώρα.

Ο John P. Aguilera, ένας από τους ερευνητές που συμμετείχαν σε αυτή τη μελέτη, εξήγησε ότι «αυτά τα δύο νέα άπειρα μεγέθη δεν ταιριάζουν αρκετά καλά στη γραμμική ιεραρχία. Αλληλεπιδρούν με έναν πολύ περίεργο τρόπο με άλλες έννοιες του απείρου». Φλερτάρουμε με πολύ αφηρημένες ιδέες, είναι αλήθεια, αλλά δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η ανακάλυψη που έκαναν αυτοί οι μαθηματικοί είναι συναρπαστική.

Στην πραγματικότητα, όρισαν αυτά τα δύο σύνολα κάνοντάς τα τόσο μεγάλα ώστε να περιέχουν μαθηματικά ακριβή αντίγραφα ολόκληρης της δομής τους. Κατά κάποιο τρόπο μπορούμε να θεωρήσουμε ότι στη σφαίρα του απείρου κυριαρχούν τα δύο πρόσφατα ανακαλυφθέντα. Ωστόσο, δεν είναι μόνο αυτό. Σύμφωνα με τον Philipp Lücke, έναν άλλο από τους μαθηματικούς που συμμετείχαν στην έρευνα αυτή, αν η μαθηματική κοινότητα αποδεχτεί τελικά τα ακριβή cardinals, η ανακάλυψη αυτή θα «υποδηλώνει έντονα ότι βασιλεύει το χάος» και συνεπώς θα υποστηρίξει την ύπαρξη ενός νέου είδους εκπληκτικού απείρου.

[via]