Μαθηματικοί ξεκλείδωσαν νέο κλάδο στη Γεωμετρία λύνοντας ένα πρόβλημα δεκαετιών

Τα στερεά με σταθερό πάχος ή πλάτος γοητεύουν ορισμένους μαθηματικούς εδώ και δεκαετίες. Αν επιμείνουμε στη γεωμετρία τους, αυτά τα τρισδιάστατα αντικείμενα χαρακτηρίζονται από το ότι έχουν το ίδιο πλάτος, το οποίο νοείται ως η απόσταση μεταξύ δύο αντίθετων πλευρών τους, μετρούμενη από οποιαδήποτε κατεύθυνση. Το πιο περίεργο είναι ότι αυτή η ιδιόμορφη γεωμετρία επιτρέπει σε αυτά τα σώματα να κυλούν σαν σφαίρα, αν, για παράδειγμα, τα τοποθετήσουμε ανάμεσα σε δύο επίπεδες επιφάνειες. Αλλά δεν είναι σφαίρες. Και, επιπλέον, επειδή το πλάτος τους είναι σταθερό, η απόσταση μεταξύ των δύο επίπεδων επιφανειών ενώ κυλούν μεταξύ τους είναι πάντα η ίδια.

Στον τομέα της Γεωμετρίας, δεν είναι εύκολο να καταλάβουμε με ακρίβεια για τι πράγμα μιλάμε, αν δεν μπορούμε να πάμε πέρα από τις λέξεις. Ευτυχώς, η εικόνα του εξωφύλλου αυτού του άρθρου απεικονίζει πολύ καλά τι είναι ένα στερεό σταθερού πλάτους. Φυσικά, το αντικείμενο που μας ενδιαφέρει είναι αυτό στα δεξιά και είναι γνωστό ως τρίγωνο Reuleaux. Αν το παρατηρήσουμε όταν είναι σε ηρεμία, είναι δύσκολο να δεχτούμε ότι είναι ικανό να κυλίεται σαν σφαίρα. Αλλά ναι, όντως κυλάει. Αρκεί να του ασκήσουμε μια δύναμη για να το επιβεβαιώσουμε αυτό. Και ο λόγος που το κάνει αυτό είναι απλά επειδή, όπως είδαμε, έχει το ίδιο πάχος προς όλες τις κατευθύνσεις.

Το 1988, ο Oded Schramm, μεταπτυχιακός φοιτητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Princeton, ρώτησε αν θα ήταν δυνατόν να κατασκευάσουμε ένα σώμα σταθερού πλάτους σε οποιαδήποτε διάσταση που να είναι εκθετικά μικρότερο από μια σφαίρα. Σε αυτό το πλαίσιο, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ότι η σφαίρα είναι το αντικείμενο με το μεγαλύτερο σταθερό πλάτος στις τρεις διαστάσεις. Η ερώτηση του Schramm μπορεί να φαίνεται επιτηδευμένη, ακόμη και άσχετη, αλλά δεν είναι καθόλου. Αυτού του είδους τα ερωτήματα θέτουν οι μαθηματικοί στον εαυτό τους, και συχνά η απάντηση, όταν τη βρίσκουν, τους δίνει γνώσεις που μερικές φορές έχουν πολύ σημαντικές πρακτικές εφαρμογές.

Έχουν περάσει περισσότερες από τρεισήμισι δεκαετίες από τότε, και επιτέλους η απάντηση στο ερώτημα του Oded Schramm έφτασε. Οι δημιουργοί της είναι τέσσερις Ουκρανοί μαθηματικοί και ένας Αμερικανός. Η έρευνα τους στον τομέα της Γεωμετρίας έκανε τους δρόμους τους να διασταυρωθούν και στα τέλη του περασμένου Μαΐου δημοσίευσαν ένα επιστημονικό άρθρο στο οποίο απέδειξαν ότι η απάντηση στο ερώτημα του Schramm είναι ναι. Είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ένα σώμα σταθερού πλάτους σε οποιαδήποτε διάσταση εκθετικά μικρότερη από μια σφαίρα.

Σε γενικές γραμμές, αυτό που έκαναν για να απαντήσουν καταφατικά στο ερώτημα του Schramm ήταν να πάρουν ως αφετηρία το δισδιάστατο τρίγωνο Reuleaux. Ο αλγόριθμος που επιτρέπει την κατασκευή αυτού του σώματος από γεωμετρική άποψη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καταλήξει σε στερεά σταθερού πλάτους σε υψηλότερες διαστάσεις. Το πρόβλημα είναι ότι είναι όλο και πιο δύσκολο να κατασκευαστεί αυτό το αντικείμενο, διότι καθώς αυξάνεται ο αριθμός των διαστάσεων, η διαφορά μεταξύ των όγκων του μικρότερου και του μεγαλύτερου σώματος σταθερού πλάτους αυξάνεται εκθετικά. Τα μαθηματικά που υποστηρίζουν όλο αυτό το σκελετό είναι περίπλοκα, αλλά αυτές είναι οι ιδέες που τους επέτρεψαν να βρουν την απάντηση στο ερώτημα που διατύπωσε ο Schramm στα τέλη της δεκαετίας του ’80.

Σε κάθε περίπτωση, είναι ακόμη πιο ενδιαφέρον να μάθουμε τι πιθανές επιπτώσεις έχει το έργο αυτών των πέντε μαθηματικών. Περιέργως, το τρίγωνο Reuleaux έχει πρακτικές εφαρμογές εδώ και πολλά χρόνια. Για την ακρίβεια, χρησιμοποιείται στις άκρες ορισμένων τρυπανιών, στις πένες κιθάρας και στα παξιμάδια. Και σε υψηλότερες διαστάσεις, σύμφωνα με τον Andrii Arman, έναν από τους μαθηματικούς που συμμετείχαν σε αυτή την έρευνα, τα σώματα σταθερού πλάτους θα μπορούσαν να είναι χρήσιμα για την ανάπτυξη μεθόδων μηχανικής μάθησης ιδανικών για την ανάλυση συνόλων δεδομένων που εξαρτώνται από μεγάλο αριθμό μεταβλητών. Χάρη σε αυτή την εργασία, οι μαθηματικοί που ερευνούν σε αυτόν τον τομέα θα μπορέσουν επιτέλους να έχουν πρόσβαση σε ένα μέρος της Γεωμετρίας που μέχρι τώρα ήταν απρόσιτο.

[via]